Wednesday, July 8, 2015

Experten: Det är den som möter som ska väja

"Det är för fan den som möter som ska väja". Så lär en av Sven Stolpes medtrafikanter ha sagt på en smal bro i Värmland för många år sedan.

Dumt, kan man tycka. Trafikidéer på ungefär samma vetenskapliga nivå presenteras nu i artiklar av Erik Söderholm på Auto Motor & Sport, och Mattias Rabe på Teknikens Värld.

"När bilförarna inte tvingas bromsa in för långsamma bilister blir vägarna betydligt säkrare", börjar Söderholm, och detta ska tydligen vara ett argument för höjda fartgränser. Söderholm har hittat en amerikansk "trafikforskare", Stephen Boyles, som i en debattartikel på sitt universitets nyhetssida vädrar sina åsikter om fartgränser. Boyles, som är filosofie doktor och har forskat om nätverk och stokastiska processer, anser att låga fartgränser ändå inte respekteras, och att de skapar ökade hastighetsskillnader som i sig är farliga. Men så vitt jag kan se är hans tyckande om just fartgränser och trafiksäkerhet inte förankrat vare sig i hans egen eller någon annan forskning. "När vissa bilförare kör för fort och andra håller sig inom hastighetsgränsen uppstår en hastighetsskillnad som kan bli riktigt farlig", citerar Söderholm.

Jo. Och det är för fan den som kör långsammare som orsakar skillnaden.

"Högre fart räddar liv" är rubriken i Teknikens värld, och artikeln börjar med att nämna att statistik från VTI motsäger denna rubrik (något man även kan läsa om i DN). Även här visar det sig att det är doktor Stephen Boyles från Austin, Texas, som genom sin upplevelse av hur fint det flyter på motorvägen mellan Seguin och Mustang Ridge har vederlagt det mesta av europeisk trafiksäkerhetsforskning.

Eftersom jag själv liksom Boyles är utbildad forskare, googlade jag "korrelation mellan hastighet och olyckor" och hittade då rapporten Hastighetsspridning och trafiksäkerhet publicerad av VTI 2012, där man bland annat kan läsa att "Resultaten från litteraturgenomgången visar att det finns en förhöjd risk att bli inblandad i en olycka ju högre hastigheten är, men däremot finns det generellt ingen förhöjd risk om du kör långsammare än medelhastigheten".

Även om författarna noga poängterar att man har för lite data för vissa generella slutsatser, indikerar diagrammen i rapporten att sänkta hastighetsgränser ger såväl lägre hastigheter som lägre skillnader i hastighet, samt att andelen fortkörare är ett trubbigt mått på hur väl sänkta hastighetsgränser efterlevs, eftersom många av fortkörarna ligger endast några få km/h över tillåten gräns.

Vidare framgår det att fartkameror är ett mycket effektivt sätt att minska de så farliga hastighetsskillnaderna.

Det var en rapport. Den som vill får leta vidare. Själv ser jag fram emot artiklar i Auto Motor & Sport och Teknikens Värld om de förbluffande forskningsresultaten från VTI, och hur häftigt det är med fartkameror.






Thursday, July 2, 2015

Numbers that go on forever, and numbers that don’t

The number $\pi$ is not only the ratio of the circumference to the diameter in any circle, but it also pops up in probability, number theory, combinatorics and so on. For instance, look at the talk Why Pi?  by Don Knuth. By the way, around 11 minutes into the talk, Knuth gets nervous. Yes I was watching in the middle of the night, and laughing.

It seems though that what this number is most famous for is the fact that it never ends. It just goes on forever. Vi Hart can explain what this means. It’s not that it’s infinite, because it’s actually smaller than 4. But still...

We mathematicians are amazed. Not because pi has infinitely many digits, but because this seems to be such a big deal. Well, proving it is a big deal. But what it shows is that in this respect, pi is like most other numbers.

Pi is like a prince or princess of mathematics. It lives an absolutely weird life, yet what people seem to find most interesting about it is that it gets married, has children, and makes gingerbread at christmas.

By the way, pi is also wrong. Well, not wrong really. But it's wrong that this number should receive the status of being $\pi$, when the number $2\pi$, also known as $\tau$ (tau), is a much better candidate for the title of “circle constant”.

Anyway, it's more of a surprise when numbers turn out not to go on forever. A few years ago, I found out that if one chooses uniformly (that is, with equal probability for all possibilities) a spanning tree on 100 vertices and finds the maximum size matching (set of edges of which no two share a vertex), then the average number of edges is exactly 43.17816555453436639467528498753359880784701479940567711130128858955366138180570639880704988422109251181925421456900270651964884431350257469764694221172317371392058217163932358010086914490396623399.

Ok, this isn’t so surprising to someone who knows a bit about combinatorics and graph theory. According to a famous theorem of Cayley, the number of spanning trees in a complete graph on $n$ vertices is $n^{n-2}$. For $n=100$ this is $10^{98}$. If we take an average of integers over this many possibilities, we get a rational number with $10^{98}$ in the denominator. Writing this number with decimals just means that we take the numerator and put a decimal point 98 steps from the end. The real surprise was that the numerator could be computed.

Now I have found another number that ends, and that does so for less obvious reasons. Suppose we take again a graph, but this time a complete bipartite graph on 10 by 10 vertices, and put independently a mean 1 exponential weight on each of the 100 edges. Then we look for the minimum total weight of a set of edges that covers all vertices, meaning that each vertex is incident to at least one of them. Then the expected value of the minimum weight is 1.4268901758375519. And there the number ends.